ГЕОМЕТРИЯ: Планиметрия

12. Правильные многоугольники и вычисление длины окружности

Правильные многоугольники. Ломаная линия называется правильной, если она удовлетворяет следующим трём условиям: 1) отрезки, составляющие её, равны; 2) углы, составленные каждыми двумя соседними отрезками равны; 2) из каждых трёх последовательных отрезков первый и третий расположены по одну сторону от второго. Многоугольник называется правильным, если он ограничен правильной ломаной линией.

2) проведя через все точки деления касательные до взаимного пересечения, получим правильный многоугольник (описанный).

2) в него можно вписать окружность.

Следствие. Две окружности: описанная около правильного многоугольника и вписанная в него - имеют один и тот же центр.

Общий центр окружности, описанной около правильного многоугольника и вписанной в него, называется центром этого многоугольника, радиус описанной окружности называется радиусом многоугольника, а радиус вписанной окружности - апофемой его. Угол, составленный двумя радиусами, проведёнными к концам какой-нибудь стороны правильного многоугольника называется центральным углом .

Теорема. Правильные одноимённые многоугольники подобны и стороны их относятся как радиусы или апофемы.

Следствие. Периметры правильных одноимённых многоугольников относятся как радиусы или как апофемы.

Вычисление длины окружности и её частей. Длиной окружности называется тот предел, к которому стремится периметр правильного многоугольника, вписанного в эту окружность, когда число сторон его неограниченно удваивается. Отношение длины окружности к её диаметру есть число постоянное для всех окружностей. Это постоянное число принято обозначать буквой p (p=3,1415926...). Таким образом, если обозначить длину окружности буквой С, верна следующая формула: C=2pR.

Длина окружности есть 2pR, значит длина дуги в 1 градус равна , следовательно, длина s дуги, содержащей n градусов, выразится так: .

Дуга, равная радиусу, называется радианом.